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一种是取一块质地均匀的薄木板，在其上画圆并把它裁割下来，称它的重量，
再与同重量的正方形做比较，以确定圆的面积。这两种方法虽然在实用上有
其价值，但在理论上不够严密和准确，而且计算方法古老而笨拙。阿基米德
通过长时期的思考和研究后，认为圆的直径与周长间有一固定比例，有了这
个比例，就可以通过计算求得圆的面积了。这个比例是多少呢？阿基米德按
照自己的思路，将圆周分割成多边形，他应用等边的6边形内接到圆中，得
到当时一直流行的算法“直径一圆周三”。为解决内接6边形的边与圆弧间
的误差，继续内接12边形、24边形、48边形、96边形、……，内接多边形
的边越多，越无限止地划出无限多的多边形，直到完全把内接多边形与外接
圆重叠为止。这样量出各多边形的边长，相加之和就是圆周的长。只可惜就
连阿基米德这么灵巧的手也只划出了内接 96边形，这样他求出
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圆周与直径的比例大于3 。然后他又用几天时间，划出圆的外切96边形
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1
，算出圆周与直径的比例小于3 ，他把这个范围取做圆周率的近似值，
7
10 1
得到π值得3 ＜π＜3 ；即3。1409 ＜π＜3。1429 ，取其平均值，得出
71 7
圆周率π值为3。1419 ，与我们现在所知的π值误差极小。
阿基米德计算π值所使用的无限细分、接近圆周的办法，后人称之为“穷
竭法”，这种方法一直被后人使用了2000多年。后人计算出的圆周率，精确
度大大提高了，但使用的计算方法，仍是阿基米使用过的“穷竭法”。到了
18世纪，牛顿和莱布尼兹在这一巧妙思想方法的启发下，发明了微积分，由
此奠定了高等数学的基础。因此，牛顿——这个科学界划时代的巨人曾说过：
如果说我伟大的话，那也只不过是因为我站在巨人的肩膀上。
计算出圆周率π的值了，阿基米德又得出了计算圆面积的方法：圆的面
1
积= r ·圆周长，
2
1 1
即 r πd = r ·π·2r = πr2 。
2 2
阿基米德不仅是第一个计算出圆面积的人，也是第一个算出球表面积是
球上的大圆面积的4倍的人。他最得意的发现，要算是圆柱的体积了。他算
出圆柱的体积等于高度与底直径相等的内含球心体积的一倍半，为此，他要
求他的后人在他的墓碑上刻一个球内切于圆柱的图形，以纪念这一不朽的发
现。
阿基米德对数学的贡献还表现在他发明的一种简便的计数法。
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天上的星星地下的沙，可算是人们最难计数的东西了。阿基米德在《沙
粒的计算》一书中写道：有人认为，如果把地球想象成一个大沙堆，并在所
有的海洋和洞穴里填满沙子，一直到与最高的山峰相平，那末，这样堆起来
的沙子的总数是无法表示的。的确，在当时还没有我们现在使用的阿拉伯数
字，叙拉古人是用古希腊字母表示数目的，这种计数方法不但麻烦，而且有
限。当时数字的极限是“一万”，如果用字母A表示，那么要表示“1000万”，
就要写出1000个A字，而不象我们现在只用几个零，写成10 000 000就行
了，而且全世界的人都认识。随着科学的发展，人们对宇宙已有所认识，要
想表示宇宙有多大就成了一个难题，阿基米德努力探求用最少的符号来表示
很大数目的方法，终于提出一个具有重要意义的计数方法，即以“一万”作
为一个大单位，在此基础上继续计数，1个一万，2个一万，3个一万……直
到一万个一万，得到万万这个数，就是我们现在叫做“亿”的数，用现在的
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计数方法可表示为10，阿基米德将这个数作为第一级的数，称为“首数”，
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在首数这个单位中又进行万万倍，得到10，称为“二数”，又将“二数”
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万万倍，得到10，作为“三数”，……在这个方法上依此类推，就可以简
便地表达出无穷大的数。这就是阿基米德在 《沙粒的计算》一书中告诉大家
的“用我的方法，不但能表示出占地球那么大的地方的沙子的数目；甚至还
能表示出占据整个宇宙的沙子的总数。这种计数方法突破了当时最大的数“一
万”的局限，大大简化了计算办法，使思路更容易集中、更清晰。后人在“亿”
这个新的计数单位的基础上，又发明了“兆”做为新的计数单位。随着科学
的发展和我们对未知世界的了解，又引进了“光年”这一新的计数单位表计
算宇宙间星与星的距离。“光年”即光（300000公里/秒）运行一年的穿行
距离，一光年等于几乎10万亿公里，这么庞大的数字，能这么简单地用“光
年”表示出来，并进行计算，正是得益于阿基米德《沙粒的计算》中所提出
的思路和方法。
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四、王冠的启示
阿基米德发明的“阿基米德杠杆”、“阿基米德螺旋”一直指导着人们
的生活实践，阿基米德被叙拉古的人民尊称为：最聪明的人。他的头脑里中
装着无数个问题，他的生活就是在不断探索问题、研究问题、解决问题中渡
过的。
叙拉古每年一度的祭神节快要到了，一天，国王亥洛将一纯金的金块发
给叙拉古最有名的、手艺最高的金匠，让他给国王制作一顶金王冠，以便在
祭神节那天装点服饰。几天以后，金王冠送来了，它金灿灿、亮闪闪，那上
面的花纹珠络，都是精缕细刻，可谓巧夺天工。所以国王看到如此漂亮的王
冠，心里非常高兴。但国王转念一想：金子是世界上最具诱惑力的东西了，
如果王冠中掺假，那就大大逊色了。他焦躁地掂了掂王冠的重量，仔细观察
每一处细小的零件，看不出有什么破绽，于是就将金匠叫来，问道：“你还
记得我给你的金子有多重吗？你如果胆敢掺假，小心你的脑袋。”金匠从容
不迫地说：“陛下，小人怎么敢弄虚作假，那块金实在是全部用在王冠上了，
如若不信，请称重验证。”国王依他所说，派人拿秤来称了王冠，果然王冠
的重量与国王给金匠那块纯金的重量相等。但其他的大臣又提出其他的疑
问：如果金匠在王冠里掺银子，份量不是也一样吗。国王想，对呀，如果王
冠外面是金的，里面掺银，不是也看不出来吗？又不能将王冠的所有零件全
部拆开重新验证。在场的大臣谁也没有办法解决这个问题。苦无良策的国王
于是想到了大科学家阿基米德，于是派人把这个全国最聪明的人请来，让他
在不损坏王冠的条件下，弄清楚王冠里面有没有掺假。
这次可把阿基米德难住了。几天来，他茶饭不思，苦思冥想，眼睛熬红
了，身体累瘦了，他整天写啊、画啊、算啊，提出许多假设，又不断地进行
规划，一个方案失败了，又出现另一个新的方案。阿基米德相信，大自然给
人们的恩赐从来就不是施舍式的，要靠人类不断地去奋斗、去争取。的确，
灵感总是偏爱勤于思索的大脑。
阿基米德为了解决王冠真假问题已经几天没洗澡，蓬头垢面的。这天，
仆人硬把他拉到浴池边，强迫他去洗澡，然而阿基米德的思路还在王冠上，
当他走到浴池边，一条毛巾从他的肩上滑下来，掉进水池，满满的一盆水立
即溢出一些，他没有在意，一边脱衣服，一边想心事，一失手，装满油膏的
铁罐又掉进了澡盆，水又溢出了不少，他脱完衣服，跨进澡盆，澡盆里的水
开始哗哗地往外流，等到全身都浸入水里时，才保持稳定，澡盆里仍是满满
的一盆水。就像黑夜中划亮了一根火柴，阿基米德的思路豁然开朗：从澡盆
里流出的水不正是我身子浸入水中的体积吗？如果不是我，而是与我重量一
样的金锭放入澡盆，就不会排出这么多水了。想到这，阿基米德从水中一跃
而起，匆匆穿上裤子，披了条浴巾，象着了魔似地冲出浴室，跑过大街，直
奔王宫，口里不住地喊着“攸勒加！攸勒加！（希腊语：我找到了！）”
王宫的门卫见一个衣衫不整的人直朝王宫冲来，还以为是疯子，就横着
兵器走过来，要阻止他进去，等到了眼前，一看是叙拉古最聪明的人阿基米
德先生，就恭恭敬敬地让开了路。国王亥洛正在宫里欣赏歌女们婀娜的舞姿，
阿基米德冲了进来，吓得歌女们马上躲了起来。阿基米德直冲到国王面前，
一边喘气一边说：“攸勒加！修勒加！陛下，我找到鉴定王冠真假的办法了。”
“是吗？快鉴定给我看看。”国王急切地说。阿基米德让人在国王面前摆上
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了2个大小完全相同的盛水罐，与王冠重量相同的金块和2个小罐。盛水罐
是锡罐，罐口旁有管可以让里面的水流出来。阿基米德让人在这2个锡罐里
装满水，然后在一个罐里放下与王冠同样重的金子，罐里的水溢出来，顺着
罐口的管流入有刻度的接水罐中，流出的水在接水罐的刻度为3个刻度的高
度。阿基米德又请国王拿出王冠，小心翼翼地放入另一个锡罐中，罐里的水
很快又溢出来流入接水罐中，但显示的刻度是比3个刻度的高。因此阿基米
德以肯定的语气告诉国王说，这个王冠不是纯金的，它里面掺有其他物质。
国王像看魔术似地看完阿基米德的实验，睁大眼睛问阿基米德，“这是
什么道理。”阿基米德解释说：“任何一个东西沉入水中，都会排开一部分
水，排开的这部分水，就是这个东西的体积。就好比我今天去洗澡，我身子
进入水里，满满一盆水流出来的部分就是我身体的体积。我的身子大，流出
的水就多，掉进水里的毛巾和铁罐小，流出来的水就少。”国王接着问：“洗
澡和王冠有什么关系呢？”阿基米德不慌不忙地解释说：“如果王冠是纯金
做的，那么把它放进水里排开的水，就跟没有加工过的黄金放入水里排开的
水一样多，如果金匠在里面掺了银子，由于银子比金子轻，所以假王冠放进
水里排开的水就比真金子排开的水多。”
从理论上讲，这种鉴定方法似乎无可非议，然而，阿基米德认为，从实
验的角度看，这种方法是不够严谨的。因为实际上要精确测量出所出的水的
体�